domingo, 28 de septiembre de 2008

El objeto de estudio de la física estadística en equilibrio

Para comprender el objeto de estudio de la física estadística en equilibrio, podemos considerar dos sistemas físicos diferentes:
El primero se llama caminata aleatoria y ha sido fundamental en el estudio de un fenómeno físico llamado movimiento browniano.
El segundo se llama crecimiento logístico y es un modelo para explicar cómo se desarrolla el crecimiento de una especie de bacteria in vitro, es decir, en condiciones controladas en laboratorio, con espacio físico definido y alimentación disponible limitada.

La caminata aleatoria

Un ejemplo didáctico de la caminata aleatoria es el caso de un borracho que sale de la cantina en tales condiciones que no sabe para dónde está su casa y da un paso al azar en cualquiera de dos direcciones disponibles. Pero una vez dado el primer paso, su estado etílico no le permite recordar en cual dirección lo dió, de modo que la dirección del segundo paso es independiente de la dirección del anterior, y así sucesivamente.
Bajo la hipótesis de que la longitud de todos los pasos es la misma, la aleatoriedad se reduce a la dirección en que se da cada paso. En esas condiciones uno puede preguntarse cuál es la probabilidad de que, después de dar N pasos, la posición del borracho esté a m pasos del punto de partida.
La respuesta analítica lleva a la distribución de probabilidad binomial, pero en este momento lo que nos interesa es una idea visual de la posición del borracho conforme se suceden los pasos. Esto puede hacerse mediante una simulación en computadora y los algunos resultados se presentan en las siguientes figuras. En la horizontal se cuenta el número de pasos ejecutados por el borracho y en la vertical su posición respecto al punto de partida (el origen en la gráfica).

La ausencia de un estado de equilibrio en el problema del borracho

Puede notarse que la posición del borracho no tiende a un punto, sino que cada gráfica (o realización del proceso azaroso) difiere de la anterior. No se percibe un intervalo a partir del cual aparezca alguna clase de estabilización en la cual la posición empiece a oscilar, aunque sea aleatoriamente).

El crecimiento logístico

El crecimiento logístico puede ser descrito analíticamente mediante una ecuación de primer grado, que nos permite calcular la evolución en el tiempo del promedio del número de bacterias en el cultivo, y además, mediante una ecuación en derivadas parciales para la probabilidad de las fluctuaciones aleatorias que ocurren alrededor de la trayectoria promedio. De nuevo, lo que nos interesa es el aspecto visual de la curva que resulta de graficar el número de bacterias respecto del tiempo transcurrido. Las simulaciones en computadora ofrecen gráficas como las siguientes para una población de bacterias localizadas en un espacio en el que no hay lugar para más de 500 de estos seres vivos. En la vertical se cuenta el número de seres vivos y en la horizontal se contabiliza el tiempo transcurrido.

Simulación del crecimiento de bacterias in vitro

Segunda simulación de crecimiento logístico

Conclusiones acerca del crecimiento logístico

Estas gráficas son muy ilustrativas. Existe una franja a la cual tiende el número de bacterias y se mantiene ejecutando una oscilación aleatoria allí.
Después de un intervalo de tiempo, que llamamos tiempo de relajación, se percibe claramente en las gráficas que el crecimiento logístico alcanza un estado de equilibrio, en torno al cual empiezan a fluctuar aleatoriamente.
Este estado de equilibrio no depende del número inicial del cual parte la gráfica. Así mismo, estas fluctuaciones aleatorias siguen la conducta de una distribución de Gauss, como se puede demostrar analíticamente, pero lo importante en este momento es que nos permite situar en dónde se ubica el objeto de estudio de la física estadística en equilibrio:

El objeto de estudio de la física estadística en equilibrio

Ésta atiende la conducta del sistema después de que ha transcurrido el tiempo de relajación, es decir, una vez alcanzado un punto cuyo promedio no se modifica y cuyas fluctuaciones en general no varían en el tiempo.
Lo anterior es lo que enfoca a la física estadística en equilibrio hacia la reproducción de los resultados de la termodinámica, pero con la añadidura de que además nos puede explicar las fluctuaciones aleatorias en torno al equilibrio.

martes, 2 de septiembre de 2008

Factores de conversión

Una tabla de factores de conversión se encuentra en la siguiente dirección:
http://www.inoxidable.com/tablas_utiles.htm

Método de Víctor Meyer para medir peso (masa) molecular

El peso (masa) molecular de una sustancia se puede medir mediante el método de Víctor Meyer:

Primero: Se mide la masa en gramos de la sustancia en su fase líquida, que llamaremos masa de la muestra.
Segundo: Se evapora y se mide P, V y T del gas que se obtiene.
Tercero: Se calcula el número de moles mediante alguna ecuación de estado y se calcula mediante la expresión:
Cuarto: Denotando como M a la masa de la muestra como n al número de moles y como Na al número de Avogadro, se calcula
masa molecular = M/(n*Na)

Quién fue Víctor Meyer?
Fué un químico alemán que nació el 8 de septiembre de 1848 y murió el 8 de agosto de 1897. Estudió el benceno y descubrió el tiofeno, una sustancia que aparece en cantidades muy pequeñas en el carbón mineral. Se trata de un hidrocarburo clasificado entre las sustancias aromáticas.

¿Qué es un estado estacionario?

En términos macroscópicos, un estado estacionario se presenta cuando las magnitudes termodinámicas que describen al sistema físico no cambian en el tiempo. En este caso, la gráfica respecto al tiempo de cualquier magnitud termodinámica es una recta horizontal.

¿Cómo tiende un sistema al equilibrio?

Si las constricciones del sistema termodinámico son modificadas bruscamente, aparece un reacomodo interno en el sistema.
Macroscópicamente, éste es percibido como una alteración de las magnitudes termodinámicas, hasta el punto de tener diferentes densidades de partículas en distintas regiones del sistema. Puede ser imposible asociarle una temperatura, etcétera.

Si el sistema es removido ligeramente de su estado de equilibrio, puede regresar a el en un intervalo de tiempo que se llama tiempo de relajación. Un ejemplo de lo anterior es el siguiente:
Sea un sistema de partículas que golpean al azar sobre una pared.
Un detector de área dada registra los golpes sobre la pared y los va sumando, pero parte de las partículas chocan fuera del detector, lo cual da como resultado que no todas son registradas.
Una simulación en computadora de este fenómeno produce una curva de registro de golpes a la pared (eje vertical) con respecto al tiempo (eje horizontal)

Conducta de las fluctuaciones clásicas

En la figura se observan dos situaciones diferentes: una en que la magnitud física oscila al azar de manera muy brusca. Otra en que las fluctuaciones son mucho menores y los valores tienden a moverse en torno a una línea invisible: es el valor en equilibrio.

En general, el tamaño de esas oscilaciones depende de la cantidad de eventos involucrados. Esos eventos pueden ser de características muy diferentes, por ejemplo: puede tratarse de moléculas encerradas en un recipiente, de fotones detectados en una pantalla con compuesto de fósforo, etcétera.

En las fluctuaciones clásicas, llamadas así porque no se consideran los efectos cuánticos, las fluctuaciones son del orden de la raíz cuadrada del número de eventos involucrados elevado a la potencia -1. Por ejemplo, tratándose de un gase encerrado en un pequeño recipiente, las fluctuaciones termodinámicas son del orden de 3x10-10

La pequeñez de este número hace que sea prácticamente indetectable con instrumentos de medida útiles en aplicaciones genéricas. Eso no quiere decir que las fluctuaciones aleatorias carecen de importancia.